28 Апр

О НЕКОТОРОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИГРЕ




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:

Рассмотрим свойства выпуклости банаховых пространств в связи с одной математической игрой. Даная работа является продолжением статьи [1]. Пусть Х – банахово пространство с нормой || ||. Рассмотрим следующую математическую игру. Два игрока А и В выбирают подмножество Г Ì Х*, так чтобы Х обладало свойством F(Г) в норме эквивалентной || ||, где F(Г) обозначает одно из свойств WLUR(Г)   или  H(Г). Игрок А стартует с выбора непустого Г1⊂ Х*, так чтобы Х обладал свойством F(Г1) в норме эквивалентной || ||, т.е. делает Г1-ход. Потом игрок В выбирает подмножество Г2⊂ Х*, так чтобы Х обладал свойством F(Г2) в норме эквивалентной || || и   Г1⊂ Г2⊂Х*, если речь идет о свойстве WLUR(Г)  или   Г2⊂ Г1⊂ Х*, если речь идет о свойстве H(Г), т.е. делает Г2-ход.

Игрок В(А) выигрывает, если игрок А(В) не может сделать ход.

Такую игру мы назовем (F(Г), Х, Х*,|| ||)-игрой. Можно рассматривать (F(Г), Х*, Х, || ||)-игру. В  статье [1] в игре было рассмотрено свойство WLUR(Г). В этой статье рассмотрим игру с  H(Г)-свойством.

Пусть Х – банахово пространство с нормой

|| || . Рассмотрим следующую математическую игру. Два игрока А и В выбирают подмножество Г ⊂Х*, так чтобы Х обладал свойством H(Г) в норме эквивалентной || ||. Игрок А стартует с выбора непустого    Г1⊂ Х*, так чтобы Х обладал свойством H (Г1) в норме эквивалентной || ||, т.е. делает Г1-ход. Потом игрок В выбирает подмножество Г2⊂Х*, так чтобы Х обладал свойством H (Г2) в норме эквивалентной || || и  Г2⊂ Г1⊂ Х*, т.е. делает Г2-ход.

Игрок В(А) выигрывает, если игрок А(В) не может сделать ход.

Такую игру мы назовем (H (Г), Х, Х*, || ||)-игрой. Можно рассматривать (H (Г), Х*, Х, || ||)-игру.

Напомним определения. В работе используются стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел,

X* — пространство, сопряженное к банахову пространству Х,

C(S) – банахово всех непрерывных вещественных функций на хаусдорфовом компакте S с равномерной нормой, .

Пусть Т – произвольное множество. Тогда

¥ (Т) – банахово пространство всех ограниченных вещественных функций на Т с нормой

Когда Т = N – множество целых положительных числе, просто будем писать ℓ¥.

Говоря «подпространство», будем всегда подразумевать замкнутое линейное подпространство.

Пусть Е – векторное пространство над полем вещественных чисел R, ||∙|| и |||∙||| — две нормы на Е.

Говорят, что нормы ||⋅|| и |||∙||| эквивалентны, если они определяют в Е одну и ту же топологию. Для того, чтобы две нормы ||∙|| и |||∙||| на векторном пространстве Е были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие 2 константы a>0 и b>0, что

Эквивалентно перенормировать банахово пространство X – это означает, ввести на X новую норму, эквивалентную исходной норме.

Обратимся теперь к H – свойству.

Единичная сфера гильбертова пространства H обладает следующим легко обнаруживаемым свойством: на ней совпадает слабая и сильная сходимости последовательных элементов.

Говорят, что банахово пространство X обладает H – свойством, если на его единичной сфере S(X) совпадают слабая и сильная сходимости последовательностей:

Известно, что H – свойством обладает каждое локально равномерно выпуклое (LUR) банахово пространство. Напомним соответствующее определение:

Обратное, вообще говоря, неверно: в пространстве l1 совпадают слабая и сильная сходимости (свойство Шура), но оно не LUR и даже не строго нормированное.

Банахово пространство Х обладает Н – свойством относительно множества Г ⊂Х* (или иначе говоря Н(Г) – свойством), если для любой последовательности  и любого элемента  условия

Если Г = Х*, то будем говорить, что пространство Х обладает Н – свойством. Н – свойство пространства Х эквивалентно совпадению слабой и сильной сходимости на его единичной сфере.

Напомним, что U-булева алгебра множеств с единицей имеет SCP-свойство, если для любой дизъюнктной последовательности  множеств из U найдется бесконечное подмножество ω из N такое, что A, n∈ω, имеет наименьшую верхнюю границу в U. Чрез B(U)-обозначим замкнутую линейную оболочку характеристических функций

1(A) =1(x) ={1: x∈A: } в пространстве ℓ¥ (S).

Очевидно, если Хи игроки А и В играют в (H (Г), Х, Х*, || ||) — игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход. Другие аналогичные результаты.

Теорема 1. Если булева алгебра U, содержащая бесконечную последовательность   дизъюнктных множеств имеет SCP-свойство, Х = B(U) и игроки А и В играют в (H (Г), Х, Х*, || ||) — игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход.

Доказательство.

Содержится для теоремы в другой форме в работе [2].

Теорема 2. Если S-вполне-несвязный компакт, U(S) (алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств S) имеет SCP-свойство, Х = C(S) и игроки А и В играют в (H (Г), Х, Х*, || ||)-игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход.

Доказательство.

Получается из теоремы 1 и того факта, что пространство C(S) линейно-изометрично B(U(S)).

Теорема 3. Если S-экстремально-несвязный компакт, Х = C(S) и игроки А и В играют в (H (Г), Х, Х*, || ||)-игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход.

Доказательство.

Получается из теоремы 1 и того факта, что если S-экстремально-несвязный компакт, то U(S) имеет SCP-свойство.

Теорема 4. Найдется Х = C(S) (S-бесконечный компакт) не содержащий подпространств изоморфных ,такой что, если игроки А и В играют в (H (Г), Х, Х*, )-игру, то проигрывает игрок, делающий первый ход.

Доказательство.

В работе [3] Хейдон сконструировал бесконечный вполне-несвязный компакт S такой, что пространство C(S) не содержит подпространств изоморфных || ||, но алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств S  имеет SCP-свойство

Заключение.

Не ставя перед собой задачу исчерпывающего рассмотрения всех аспектов игры, отметим, что одним из серьезных технических инструментов теории пространств Банаха является «метод эквивалентных норм», который заключается в возможности введения в банаховом пространстве эквивалентной нормы, обладающей тем или иным «хорошим» свойством. Например, М.И. Кадец доказал топологическую эквивалентность всех бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств, используя этот метод. Следовательно, актуальными становятся исследования эквивалентных норм, обладающих разными «хорошими» свойствами (см., например [4]-[7]).

 

Список литературы

  1. Манохин Е.В. Об одной математической игре. Сборник научных трудов Sworld. 2013. Т. 11. № 1. С. 92-95.
  2. Манохин Е.В. О  геометрических  и  линейно-топологических  свойствах некоторых  пространств  Банаха. Автореф.дисс. к.ф.м.н. -Харьков,1992. -16 с.
  3. Haydon E.G. A non reflexive Grothendick space that does not contain .Israel J. Math., 1981, v.40, pp 65-73.
  4. Манохин Е.В. Некоторые множества в и константа Юнга. Чебышевский сборник: науч.-теорет. журн. — Т.9. Вып.1. – Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2008.
  5. Манохин Е.В. Банаховы матрицы. Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. — Т.9. Вып.1. — Тула, 2003.- С.129-141.
  6. Манохин Е.В. Г-слабо локально равномерная выпуклость в пространствах Банаха//Известия Вузов. Математика.-1998.-№1.-С. 51-54.
  7. Манохин Е.В. О вложениях совокупности нечетких множеств// Научное обозрение. -2014. -№ 3. -С. 66-68.
    О НЕКОТОРОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИГРЕ
    В данной статье рассматриваются некоторые свойства выпуклости банаховых пространств в связи с некоторой математической игрой.
    Written by: Манохин Евгений Викторович
    Published by: Басаранович Екатерина
    Date Published: 12/17/2016
    Edition: euroasia-science_28.04.2016_4(25)
    Available in: Ebook