26 Сен

О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

                                             (1)

где f – гравитационная постоянная, т – масса планеты, r – модуль радиус-вектора, In – постоянный параметр, Рn – полином Лежандра n – го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения

Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. Канонические переменные «действие-угол» введены в работе [2] и выражены через эллиптические квадратуры.

Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую форму, если ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с=0 [3]. Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, l, g, h будут иметь вид

Выбрав в качестве малого параметра величину μ=c 10-6, где r0 – средний радиус планеты, представим пертурбационную функцию рядом

В «Новых методах небесной механики» А. Пуанкаре [5] доказана теорема, которая в нашем случае может быть сформулирована следующим образом:

пусть движение спутника описывается приведённой системой (19), причём гамильтониан имеет вид (20). Тогда, если

— функция  не зависит от угловых переменных l и g,

— гессиан функции  по переменным L и G не равен тождественно нулю,

— функции  являются периодическими функциями от l и g с периодом 2π,

то приведённая система уравнений не допускает никаких других независимых аналитических первых интегралов, кроме интеграла энергии =const при достаточной малости параметра μ.

Нетрудно проверить, что все условия сформулированной теоремы выполняются. Доказательство основывается на том факте, что если бы в задаче существовал однозначный интеграл, то в разложении пертурбационной функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным все коэффициенты должны были бы обращаться в нуль. Изучение разложения R показывает, что всё это не так. Следовательно, мы должны сделать вывод о том, что приведённая система уравнений (19) не может иметь никаких аналитических однозначных интегралов, не являющихся следствием интеграла энергии и циклического интеграла (18).

Библиографический список.

  1. Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.
  2. Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122-130.
  3. Искакова А.М. Переменные «действие-угол» в задаче Баррара.// Аналитическая механика тел переменной массы. Алма-Ата, 1982. стр. 30-36.
  4. Севрюков П.Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: – Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.
  5. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр. 8-326.
    О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара
    Рассматривается задача о дополнительных аналитических первых интегралах одной известной задачи о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Показано отсутствие дополнительных (отличных от известных) первых интегралов задачи.
    Written by: Севрюков Павел Фёдорович
    Published by: БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА
    Date Published: 02/01/2017
    Edition: ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_26.09.15_10(18)
    Available in: Ebook