29 Авг

К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:

Введение. Одним из важных вопросов в теории свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли является исследование реакции контура, т.е. обратное воздействие на ядерную прецессию наведенных вращающейся намагниченностью электромагнитных колебаний в контуре.

Количественное исследование реакции приемного контура можно осущест-вить на основе классического подхода, поскольку совокупность спинов в коге-рентном состоянии можно трактовать в терминах макроскопической намагниченности.

Общая теория явления может быть построена на основе дифференциальных уравнений для связанной системы, которая с одной стороны содержит феноменологические уравнения Блоха для образца с прецессирующей намагниченностью, а с другой включает в себя также уравнение приемного контура.

М.Паккард и Р.Вариан [1, 2] разработали метод наблюдения сигналов свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях, характерной особеннос-тью которого является предварительная поляризация ядер в образце вспомогательным сильным полем Н*, ориентированным перпендикулярно слабому полю Н0. Свободная  прецессия вектора ядерного намагничивания М вокруг направления Н0 возникает в результате достаточно быстрого (неадиабатического) выключения поля Н* и наводит сигнал соответствующей частоты  в приемной катушке. Предложенный метод широко используется в геомагнитных исследованиях, а также в некоторых разделах радиоспектроскопии высокого разрешения.

В дальнейшем Н.Бломберген и Р.Паунд [3] разработали общую теорию явления, которая строится на основе решения связанной системы дифференциаль-ных уравнений, состоящей из образца с прецессирующей намагниченностью и колебательных контуров (в общем случае двух). Токи в контурах подчиняются обычным уравнениям с добавлениям членов, описывающих наводимую образцом ЭДС, а движение вектора М описывается феноменологическими уравнениями Блоха. Поперечные компоненты действующего на М магнитного поля зависят от токов в контурах, в конечном счете также и от движения вектора М. В общем случае система уравнений получается нелинейной и ее решение довольно проблематично [4].

В последствии К.В.Владимирский [5] рассмотрел процесс неустойчивости вектора ядерной намагниченности, направленного антипараллельно внешнему полю и взаимодействующего с колебательным контуром достаточно высокой добротности. Самовозбуждение прецессии вектора М имеет место в случаях, когда τR<<Т2. С.Блум [6] провел расчеты реакции контура для частного случая Т1 = ∞, при этом Т2 конечно. В работе Ф.И.Скрипова и Э.Л.Альтмана [7] исследовалось влияние реакции приемного контура на огибающую и на частоту сигнала свободной ядерной индукции в слабом магнитном поле. Исследовался случай одинакового продольного (Т1) и поперечного (Т2) времени релаксации. Для исследования общего случая использовались численные методы, в частности, метод Рунге-Кутта четвертого порядка [4]. Рассматривался также вопрос о реакции приемного контура при наличии мультиплетной структуры сигналов ЯМР.

Формулировка  задачи. При формулировке исходной задачи будем считать, что образец взаимодействует лишь с одним колебательным контуром, при этом постоянная времени последнего ТК << Т1, Т2, τ.

Примем, что поле Н0 и ось приемной катушки направлены соответственно вдоль осей 0z и 0x прямоугольной системы координат. Тогда выражения для Мx и Мy запишутся в виде:

Система (6)-(8) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, аналитической решение которой весьма проблематично [4].

Реакция приемного контура в случае мультиплетной структуры сигналов ЯМР.          Следует отметить, что метод свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли используется для исследования мультиплетной структуры сигналов ЯМР, например, обусловленной косвенными спин-спиновыми взаимодействиями ядер в молекуле [9]. Подчеркнем, что сложный характер линии поглощения вызывает модуляцию огибающей сигнала свободной индукции, возникающую в результате биений между отдельными компонентами мультиплета. В этих случаях образец характеризуется несколькими векторами Мi, прецессирующими с различными угловыми скоростями и явление реакции приемного контура значительно усложняется. Так, в частности, кроме обратного воздействия каждой компоненты на себя, возникают перекрестные влияния, при которых частота воздействующего сигнала будет отличаться от частоты прецессии.

Рассмотрим случай двух компонент одинаковой интенсивности. Примем, что ωK совпадает с центром дублета ω0. В этом случае величины А и Мz для одной компоненты во все моменты времени остаются равными соответствующим величинам для другой, а фазовые сдвиги φ будут иметь противоположные знаки.

В этом случае выражение (1) представляется следующим образом:


Следует отметить, что при выводе уравнений предполагалось, что Ω много меньше ширины полосы пропускания приемного контура, так что для каждой компоненты дублета будут справедливыми приближенные выражения в (3) и (4).

В полученной системы уравнений (10)-(12) предпоследние члены будут описывать воздействие каждой компоненты на себя, а последние члены будут описывать перекрестные влияния. Подчеркнем, что перекрестные влияния будут существенными лишь для малых значений Ω, поскольку в противном случае соответствующие члены будут быстро осциллировать и их среднее воздействие близко к нулю.

Аналитическое решение задачи о реакции приемного контура в магнитном поле Земли. Как уже указывалось ранее общее решение задачи осуществляется, как правило, численными методами [4], поскольку исходная система (6)-(8) или (10)-(12) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

В настоящей работе излагается аналитический подход к решению линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе модифицированного метода последовательных приближений, разработанного профессором В.А.Пухлий, и опубликованным им в изданиях Академии наук [10, 11]. Разработанный аналитический подход использовался в работе В.А.Пухлий и Н.И.Ковалева [12] при решении задачи спинового эха Хана. Полученные результаты сравнивались с известными теоретическими и экспериментальными значениями. Отмечается хорошее совпадение.

Следует особо отметить, что для ускорения сходимости предложенного решения разработан вариант модифицированного метода последовательных приближений в смещенных полиномах Чебышева [13, 14]. Известно, что одна и та же функция может быть представлена целым спектром различных степенных рядов. Представляя по существу одну и ту же функцию, все они обладают весьма различной скоростью сходимости. Если мы преследуем цель – абсолютную точность, те все эти представления равнозначны. Но если наша цель – ограниченная точность, то эти представления будут совершенно различны. Самой слабой сходимостью обладают ряды Тейлора, с другой стороны самая сильная сходимость характерна для полиномов Чебышева.

Здесь для ускорения сходимости решения используется метод телескопического сдвига степенного ряда Ланцоша [15]. Идея метода заключается в том, что имеющейся в нашем распоряжении ряд Мак-Лорена телескопически сдвигается в гораздо более короткий ряд, не теряя в точности. Для этого используется возможность представления любого степенного ряда через смещенные полиномы Чебышева на интервале [0, 1].

К решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами вида (6)-(8), либо вида (10)-(12) применим аналитический подход, основанный на использовании модифицированного метода последовательных приближений в смещенных полиномах Чебышева [13, 14].

В соответствии с методом запишем системы обыкновенных дифференциаль-ных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами в нормальной форме Коши:

В дальнейшем, удовлетворяя начальным условиям, получим систему однородных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных , решение которой и определяет спектр значений безразмерных частот .

Анализ полученных результатов. Предварительно отметим, что при численной реализации разработанного аналитического решения задачи Коши для системы уравнений (6)-(8), либо системы (10)-(12), уравнения должны быть представлены в безразмерной форме.

При переходе к безразмерным величинам в теории ЯМР, как правило, все магнитные моменты выражаются через равновесную намагниченность М = γ1Η, все времена через Т2, а магнитные моменты через ΔΗ2:

Тогда вместо исходной системы уравнений (6)-(8) получим новую систему уравнений в безразмерной форме вида (13), к решению которой в дальнейшем применяется разработанный алгоритм.

Следует отметить, что решение задачи о реакции приемного контура можно легко получить для предельного случая бесконечно больших времен релаксации Т1 и Т2 [3]. Для этого случая величина  остается неизменной, а единственной причиной затухания прецессии является уменьшение угла θ между  и . Выражение для когерентной компоненты намагниченности , определяющей амплитуду наводимого сигнала прецессии для данного случая имеет следующий вид:

Полученные формулы (22) и (23) пригодны также и для конечного времени Т1 и Т2, если Т1 >> τR и Т2 >>τR. Для случая конечного времени Т2 и Т1 = ∞ решение получено в [6].

Следует подчеркнуть, что наибольший практический интерес представляет случай конечных времен релаксации Т1 = Т2 = Т, который впервые был исследован Ф.И.Скриповым и Э.Л.Альтманом [7] на основании аналогии со связанными контрами, при этом пренебрегалось влиянием переходных процессов в приемном контуре, поскольку его постоянная времени в сотни раз короче времени Т2.

Основной характеристикой, определяющей реакцию контура на движение вектора М, является величина Т/τ. Заметим, что в обычных условиях эксперимента ηQH* не превышает значения 2·104 гс, что, например, для обескислороженного бензола (Т = 16 сек) дает:

                              (24)

Здесь Р – безразмерный коэффициент, равный отношению фактической амплитуды сигнала свободной ядерной индукции к ее расчетному значению, в оптимальных случаях он приближается к единице, однако нередко имеет и значительно меньшую величину.

При использовании регенерированного контура с добротностью порядка нескольких сотен, возможны и значительно большие значения .

В результате численные расчеты выполнялись для пяти значений , образующих геометрическую прогрессию 1; 2; 4; 8; 16. При расчетах принималось, что θ(0) = π/2.

На рис.1 приведены результаты расчета авторов (сплошные линии). Представлена зависимость  от безразмерной координаты времени t/T при различных реакциях контура и Т1 = Т2 = Т.

Рисунок 1. Зависимость  от времени при различных реакциях приемного контура: –––– – результаты авторов; –○– – результаты [7].

 

На рис.1 приведены также результаты вычислений, полученные Ф.И.Скриповым и Э.Л.Альтманом [7]. Как следует из рис.1 совпадение результатов расчетов довольно хорошее.

Результаты расчетов зависимости  от безразмерной координаты времени t/T при различных реакциях контура и Т1 = Т2 = Т представлены на рис.2.

Из результатов расчетов следует, что при малых значениях  реакция контура влияет на затухание сигнала значительно слабее, чем следует из выражения для эффективного времени затухания прецессии с учетом реакции контура [16]:

Рисунок 2. Зависимость  от времени при различных реакциях приемного контура: –––– – результаты авторов; –○– – результаты [7].

На основе проведенного анализа следует подчеркнуть весьма важный факт: требование большой величины отношения сигнала свободной ядерной индукции к шуму и незначительного влияния реакции контура являются противоречивыми.

Выводы

  1. Предложен аналитический подход к решению задачи о реакции контура в магнитном поле Земли.
  2. Для решения начальных задач Коши, описываемых системами дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, применяется модифицированный метод последовательных приближений [10, 11].
  3. Полученные результаты авторов сравниваются с известными теоретическими результатами других авторов. Отмечается хорошее совпадение.

 

Список литературы

  1. Packard M., Varian R. Свободная ядерная индукция в магнитном поле Земли. – Bull. Amer. Phys. Soc., vol.28, №7, 1957, p.7.
  2. Packard M., Varian R. Свободная ядерная индукция в магнитном поле Земли. – Phys. , vol.93, 1954, p.941.
  3. Bloembergen N., Pound R.V. Затухание излучения в опытах по магнитному резонансу. – Phys. , vol.95, 1954, p.8.
  4. Пухлий В.А. Численные методы. Теория и практикум в среде MATLAB: в 2- томах. Том 1.– Севастополь, 2007.– 412 с. Том 2 – Севастополь, 2008.– 742 с.
  5. Владимирский К.В. О радиационной неустойчивости в экспериментах по ядерному магнитному резонансу. – ЖЭТФ, том 33, 1957, с.532.
  6. Bloom S. Эффекты радиационного затухания в динамике спинов. – J. Appl. , vol.28, 1957, p.800.
  7. Скрипов Ф.И., Альтман Э.Л. Реакция приемного контура в опытах по свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях. – Известия ВУЗов. Радиофизика, том V, №1, 1962, с.104-115.
  8. Bloch F. Nuclear induction. – Phys. Rev., vol.70, 1946, p.460. (Блох Ф. Ядерная индукция. – Научно-реферативный сборник по некоторым вопросам современной физики. сер.2, вып.8, 1950, с.13).
  9. Морозов А.А,, Мельников А.В., Скрипов Ф.И. Методика свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях в применении к некоторым задачам радиоспектроскопии высокой разрешающей силы. – Известия АН СССР, том 22, 1958, с.1141.
  10. Пухлий В.А. Метод аналитического решения двумерных краевых задач для систем эллиптических уравнений. – Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, том 18, №5, с.1275-1282.
  11. Пухлий В.А. Об одном подходе к решению краевых задач математической физики. – Дифференциальные уравнения, 1979, том 15, №11, с.2039-2043.
  12. Пухлий В.А., Ковалев Н.И. К задаче спинового эха в теории ядерного магнитного резонанса. – В сб.: Современные концепции научных исследований. – Москва, Евразийский Союз Ученых, №2(19), 2015, с.
  13. Пухлий В.А. Аналитический метод решения краевых задач теории оболочек. – Труды XIII Всес. Конф. по теории пластин и оболочек. – Таллин, 1983.
  14. Пухлий В.А. Решение задачи об изгибе косоугольной в плане цилиндрической трехслойной панели модифицированным методом последовательных приближений. – Прикладная механика. – Киев: АН УССР, 1986, №10, с.62-67.
  15. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. – М.: Физматгиз, 1961. – 524.
  16. Рыжков В.М., Скроцкий Г.В. Некоторые особенности явления свободной прецессии атомных ядер. – Труды УПИ, сб.III, 1961, с.45-62.

    К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
    Исследуется реакция приемного контура в теории свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли. Для решения начальной задачи Коши, состоящей из уравнения Блоха для образца и уравнения приемного контура, предлагается аналитический подход, основанный на модифицированном методе последовательных приближений. Полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспериментальными значениями. Отмечается хорошее совпадение.
    Written by: Пухлий Владимир Александрович, Ковалев Николай Ильич
    Published by: БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА
    Date Published: 02/07/2017
    Edition: ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_29.08.15_08(17)
    Available in: Ebook