23 Июн

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ.




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:

ВВЕДЕНИЕ:

В работе предлагается нелинейная форма зависимости напряжений в однородном прямолинейном стержне от относительных деформаций, аналогично тому, как это было сделано в [1]. На основании этой зависимости выводится волновое нелинейное уравнение распространения продольных волн в упругом стержне. Получена схема распространения скачка напряжений в стержне. Исследуются случаи распространения волн разгрузки и нагрузки в стержне.

1 — НЕЛИНЕЙНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.

При выводе нелинейного волнового уравнения будет использована нелинейная форма зависимости напряжения в стержне от относительных деформаций. Эту зависимость можно получить на основании уравнения состояния воды в форме Тета [2]:

,                                                                        (1.1),

где p, ρ соответственно давление и плотность воды,  начальная плотность и давление воды, соответственно, постоянная  атм; . Вводя переменную  уравнение может быть приведено к виду:

,                                                                        (1.2).

Ниже будет получена нелинейная форма зависимости напряжений в стержне от относительных деформаций, аналогичная формуле (1.2). При получении этой зависимости нам потребуется соотношение для величины относительных деформаций в стержне e(x,t), в зависимости от величины перемещения  u(x,t) точек стержня от некоторого исходного положения смотри рисунок.

Рис 1.

Для линейного закона Гука абсолютная величина напряжений для деформаций растяжения и сжатия одна и таже для равных абсолютных величин относительных деформаций растяжения и сжатия. Распространим это свойство на случай нелинейной зависимости напряжений от деформаций, вводя абсолютную величину относительных деформаций e(x,t) по формуле

                                                              (1.3).

Переходя к пределу в (1.3) при Δx стремящемся к нулю получим e′(x,t величину модуля скорости деформации :

                                                                                      (1.4).

Очевидно, что для малых значений Δx с точностью до малых  имеем:

                                                                                      (1.5).

Очевидно что для деформаций растяжения , а для деформаций сжатия  .

По аналогии с соотношением (1.2) введём нелинейную форму зависимости напряжений  в стержне от величины относительных деформаций :

                                                                                        (1.6),

Здесь  при отсутствии деформаций (e=0).

Очевидно что для малых относительных деформаций e(x,t) из (1.6) получаем линейный закон Гука:

                                                                                                       (1.7),

здесь ρ — плотность стержня,  — модуль Юнга для стержня. Из двух постоянны B и n, произведение которых равно модулю Юнга E, одну можно выбрать таким образом, что бы соотношение (1.7) соответствовало экспериментальным данным. Из соотношения (1.6) получим формулу для квадрата скорости a(x,t) распространений малых возмущений в стержне

                                                                              (1.8).

Для вывода волнового уравнения нелинейного распространения волн в стержне запишем формулу второго закона Ньютона для массы участка струны , рис 1. :

                                                                            (1.9),

Здесь σ площадь поперечного сечения стержня,  и  напряжения на правом и левом конце рассматриваемого участка, соответственно. Запишем формулу Лагранжа конечных приращений для разности ¯ в некоторой точке ξ,  при этом частную производную  вычислим с использованием соотношений (1.6) и (1.5). После проведения элементарных вычислений, с учётом того что e(x,t) =‾  для деформаций сжатия устремляя Δx к нулю из (1.9) получим нелинейное волновое уравнение распространения волн в стержне:

                                                                                 (1.10),

здесь e=. Очевидно, что для случая линейного закона Гука (n=1) из (1.10) получаем известное линейное волновое уравнение.

2-РАСПОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ В СТЕРНЕ.

Рассмотрим задачу о мгновенном снятии данной нагрузки растяжения с левого конца стержня AA′, который совпадает с началом Ο оси ΟX а правый конец BB′ неподвижно закреплён в вертикальной стенке смотри рис 2.

Рис 2.

 Предполагается, что длина нагруженного стержня равна l, а длина стержня в ненагруженном состоянии равна l0. Очевидно, что:

                                                                    (2.1),

где  площадь поперечного сечения стержня в ненагруженном и нагруженном состоянии соответственно. При мгновенном снятии нагрузки от левого конца стержня к правому побежит волна разгрузки с некоторой постоянной скоростью N>0, на которой испытывают скачок площади поперечных сечений и скорости. Ясно, что скорости частиц стержня перед волной CC′ равны нулю, а слева от неё некоторому постоянному значению ν. Для определения N и ν запишем законы сохранения массы и изменения количества движения на волне CC′ для некоторого интервала времени . Очевидно, что эти законы запишутся в виде соотношений:

                                                                       (2.2),

                                                                                (2.3).

 Из соотношения (2.2) находим  и, подставляя затем это значение  в уравнение (2.3) получим:

                                                                                            (2.4),

Полученное соотношение (2.4) аналогично известному соотношению в газовой динамике для скорости распространения ударной волны  [3]. Примем далее во внимание, что рассматривается случай малых деформаций стержня т.е.

3-РАСПОСТРАНЕНИЕ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ ВОЛНЫ НАЗГРУЗКИ В СТЕРНЕ.

Рассмотрим задачу о распространении растягивающей волны нагрузки CC′ под действием приложенного в момент t=0 усилия T к левому концу стержня AA′ начальная длина которого равна  а площадь поперечного сечения . Очевидно, что по заданному значению   определяется по (1.6) можно найти σ,e и конечную длину l растянутого стержня. В рассматриваемом случае справа от волны CC′ распространяющейся по стержню со скоростью N величина скорости частиц, площади поперечного сечения, напряжения скачком меняется от 0, , 0 — соответственно до значений ν, σ, p(σ) слева от волны CC′. Также как и в предыдущем пункте запишем законы сохранения массы и изменения количества движения на волне CC′ на бесконечно малом интервале времени :

Выберем в качестве параметра ε малую деформацию e, тогда

 Вычислим конечную длину растянутого стержня

 Учитывая полученные значения , находим значение   .

Список литературы:

  1. Шарый В.А ,Себельдин А.М., Мансаре В. Европейский союз ученых Москва 27-30 декабря 2014 часть3 стр.11-13.
  1. Гриб А.А., Шарый В.А. «Распространение ударной волны в водоёме с наклонным дном» Вестник ленинградского университета; 1974, №3, 74-81.
  2. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.
    К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ.
    Предлагается нелинейная форма зависимости напряжений в упругом теле от деформаций. Получено нелинейное волновое уравнение распространения упругих волн в однородном стержне. Рассматриваются задачи о распространении волн разгрузки и нагрузки в стержне.
    Written by: Шарый Владимир Александрович, Пайков Владимир Иванович
    Published by: Басаранович Екатерина
    Date Published: 12/14/2016
    Edition: euroasia-science_6(27)_23.06.2016
    Available in: Ebook