25 Авг

К геометрии двойных линий частичного отображения пространства E5




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:

В области Ω евклидова пространства Σ,, задано семейство гладких линий так, что через каждую точку Χ∈Ω проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер   в области Ω выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для линии ω¹ заданного семейства. Деривационные формулы репера ℜ имеют вид:

                                                              (1)

Формы   удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:

                                              (2)

Интегральные линии векторных полей  образуют сеть Френе  для линии ω¹ заданного семейства. Поскольку репер ℜ построен на касательных к линиям сети , формы  становятся главными, т.е.

                                                                                (3)

В силу последнего равенства формулы (2) имеем:

 

(4)

Дифференцируя внешним образом равенство (3) получим:

Применяя формул (2) отсюда имеем:

В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:

или

Отсюда найдем:

или

Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:


или

                                                               (5)

Система величин  образуют геометрический объект второго порядка.

Формулы Френе для линии ω¹ заданного семейства имеют вид:

и                                                 (6)

                                                       (7)

Здесь , , ,  — первая, вторая, третья и четвертая кривизны линии ω¹ соответственно (где  — символ дифференцирования вдоль линии ω¹).

         Псевдофокус [4]   касательной к линии ω¹ сети Σ определяется следующим радиус-вектором:

                                                                    (8)

         На каждой касательной  существуют по четыре псевдофокуса. На прямой  существуют псевдофокусы , на прямой  – ,  на прямой  –, на прямой  – , на прямой  –

         Сеть  в Ω⊂ называется циклической сетью Френе [5], если реперы , , ,     , являются соответственно реперами Френе для линий сети   одновременно.

         Пусть сеть  является циклической сетью Френе. Ее обозначим через . Псевдофокус  определяется радиус-вектором:

                                                                          (9)

Когда точка χ смещается в области Ω⊂Σ, псевдофокус  описывает свою область . Определяется частичное отображение  такое, что  

Продифференцируем равенство (9) и применяя формулы (1), (2), (3) имеем:

или

где 

Отсюда получим:

Введем обозначения:

                                                     (10)

          К области  присоединим подвижной ортонормированный репер где векторы имеют вид  (10) . В общем случае эти векторы линейно независимы.

Линии называют двойными линиями отображения , если касательные к ним, взятые в соответствующих точках Χ  и (Χ) пересекаются, либо параллельны [6].

Линия l называется двойной линией пары , если она является двойной линией отображения   и принадлежит распределению [6].

Рассмотрим линию α, принадлежащую двумерному распределению   Ее касательный вектор α имеет вид:

Найдем касательный вектор линии Учитывая формулы (10) получим:

Отсюда имеем:

Следовательно,    тогда и только тогда, когда

В силу  формул (10) отсюда получим:

или

                                                                                 (11)

где  первая  кривизна линии ω² сети  , — вторая  кривизна линии ω¹ сети  .

 Таким образом,  линия α, принадлежащая распределению , является двойной линией пары   тогда и только тогда, когда координаты α¹, α² ее касательного вектора удовлетворяют условию (11).

Рассмотрим линию m, принадлежащую  распределению ,  и отличную от линий  ω¹, ω².

Ее касательный вектор имеет вид:  линии .

В силу формул (10)  отсюда получим:

Векторы не могут быть компланарными, следовательно, линия m не может быть двойной линией пары .

Аналогичным образом выяснено, что линия γ, принадлежащая  распределению и отличная  от линий ω¹, ω²,  не может быть двойной линией пары ; линия β, принадлежащая распределению  и отличная от линий ω¹, ω², является двойной линией пары тогда и только тогда, когда выполнены условия:

                                                                                        (12)

где — вторая  кривизна линии  сети ,

                                                                                      (13)

где — первая кривизна линии ω² сети , — третья кривизна линии  сети . 

Таким образом доказана

Теорема.   Линия α, принадлежащая распределению  и отличная от линий ω¹, ω²,  является двойной линией пары   тогда и только тогда, когда выполнены условие  (11);

линия γ, принадлежащая распределению  и отличная от линий ω², , является двойной линией пары тогда и только тогда, когда выполнены условия (12), (13).

 

Список использованной литературы:

  1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.
  2. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.II-348.
  3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // М-Л.: Госттехиздат,.1948.- 432.
  4. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский математический сборник,1966.VI.№4.-С.475-491.
  5. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.
    К геометрии двойных линий частичного отображения пространства E5
    Written by: Чолпонай Абдуллаева
    Published by: Басаранович Екатерина
    Date Published: 12/10/2016
    Edition: euroasia-science.ru_#29_25.08.2016
    Available in: Ebook